বাস্তব সংখ্যাতত্ত্ব

বাস্তব সংখ্যাতত্ত্ব ✦ Real Number System

সূচিপত্র

✦ অঙ্ক

যে সমস্ত চিহ্ন বা প্রতীক দ্বারা সংখ্যাকে প্রকাশ করা হয়, তাদের অঙ্ক (digit) বলে।
বাস্তবে সর্বাধিক প্রচলিত সংখ্যাতত্নে (number system) দশটি চিহ্নকে অঙ্ক বলা হয়। এগুলি হল : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9।
প্রকৃতপক্ষে যে-কোনাে অঙ্কই এক-একটি সংখ্যা কিন্তু সমস্ত সংখ্যাই অঙ্ক নয়।
✤ সংখ্যার মধ্যস্থিত অঙ্কের প্রকৃত মান এবং স্থানীয় মান
কোনো অঙ্কের প্রকৃত মান (face value or intrinsic value) বলতে সেই অঙ্কটিকেই বােঝায়। যেমন-237 সংখ্যাটির 2-এর প্রকৃত মান 2, 3 এর প্রকৃত মান 3।
কোনাে সংখ্যার মধ্যস্থিত কোনাে অঙ্কের স্থানীয় মান (place value) নির্ণয় করতে হলে একেবারে ডানদিক থেকে যথাক্রমে একক, দশক, শতক, সহস্র ইত্যাদি স্থান ধরে ক্রমশ এগিয়ে যেতে হবে। এইভাবে, এককের অঙ্ক থেকে কোটি পর্যন্ত কোনাে বিশেষ অঙ্কের স্থানীয় মান তার ঠিক ডানদিকে অবস্থিত অঙ্কের স্থানীয় মানের 10 গুণ। 4371925862 সংখ্যাটি লক্ষ করাে :
একশো কোটি (বিলিয়ন)দশ কোটিকোটিদশ লক্ষ (মিলিয়ন)লক্ষদশ সহস্রসহস্রশতকদশকএকক
10^{9}10^{8}10^{7}10^{6}10^{5}10^{4}10^{3}10^{2}10^{1}10^{0}
4371926862
এক্ষেত্রে,        \inline 4371925862 = (4\times10^{9})+(3\times10^{8})+(7\times10^{7})+(1\times10^{6})+(9\times10^{5})+(2\times10^{4})+(5\times10^{3})+(8\times10^{2})+(6\times10^{1})+(2\times10^{2})
 এই সংখ্যাটিতে অঙ্কগুলির স্থানীয় মান হল—
অঙ্ক (digit)স্থানীয় মান (place value)
22\times 10^{0}=2
66\times 10^{1}=60
88\times 10^{2}=800
55\times 10^{3}=5,000
22\times 10^{4}=20,000
99\times 10^{5}=9,00,000
11\times 10^{6}=1,000, 000
77\times 10^{7}=70,000, 000
33\times 10^{8}=300,000, 000
44\times 10^{9}=4,000, 000, 000
ওপরের উদাহরণ থেকে বােঝা যায়, অঙ্কের স্থানীয় মান সংখ্যাটিতে অঙ্কটির অবস্থানের ওপর নির্ভর করে। যেমন, উদাহরণটিতে 2-এর প্রকৃত মান উভয়ক্ষেত্রে [1 ও 5] একই; কিন্তু স্থানীয় মান 1-এ 2 এবং 5-এ 20,000।

✦ সংখ্যাতত্ত্ব

✤ স্বাভাবিক সংখ্যা
বস্তুসমূহ গণনার প্রয়ােজনে যে সমস্ত সংখ্যার উৎপত্তি হয়, তাদেরকেই স্বাভাবিক সংখ্যা (natural number) বলে।
যেমন, 1, 2, 3, 4… অসীম পর্যন্ত সংখ্যাগুলি হল স্বাভাবিক সংখ্যা।

✤ মৌলিক সংখ্যা
যে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার শুধুমাত্র দুটি ভিন্ন উৎপাদক থাকে, তাদের মৌলিক সংখ্যা (prime number) বলে। অন্য কথায় যে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা শুধুমাত্র 1 এবং এই সংখ্যাটি দ্বারা বিভাজ্য, তারাই মৌলিক সংখ্যা।
NOTE : 1 স্বাভাবিক সংখ্যাটি মৌলিক নয়, কারণ 1-এর দুটি ভিন্ন উৎপাদক নেই।
কোনাে সংখ্যা মৌলিক কি না জানার পদ্ধতি : কোনাে সংখ্যা মৌলিক কিনা পরীক্ষা করার জন্য সংখ্যাটির আনুমানিক বর্গমূলের থেকে বড়াে এমন সংখ্যা নিয়ে সেই সংখ্যার থেকে ছােটো সমস্ত মৌলিক সংখ্যা দিয়ে প্রদত্ত সংখ্যাটি বিভাজ্য কিনা পরীক্ষা করতে হয়।
যদি সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যাটি দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তবে প্রদত্ত সংখ্যাটি মৌলিক হবে।

উদাহরণ :
683 কি মৌলিক সংখ্যা?

সমাধান :
683 = 26.134। এখন 27-এর থেকে ছােটো মৌলিক সংখ্যাগুলি হল 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23। দুই সংখ্যাগুলির কোনােটির দ্বারাই 683 বিভাজ্য নয়। সুতরাং, 683 একটি মৌলিক সংখ্যা।

✤ যৌগিক সংখ্যা
যে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার অন্ততপক্ষে তিনটি উৎপাদক থাকে, তাদের যৌগিক সংখ্যা (composite number) বলে। অন্য কথায়, যে সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা 1 এবং এই সংখ্যাটি ছাড়াও অন্য এক বা একাধিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, তারাই যৌগিক সংখ্যা।
উদাহরণস্বরূপ, 4, 6, 10, 12, 15, 24, … ইত্যাদি সংখ্যা যৌগিক সংখ্যা।

✤ পরস্পর মৌলিক সংখ্যা
দুটি স্বাভাবিক সংখ্যাকে পরস্পর মৌলিক (prime to each other) বলা হয়, যদি সংখ্যা দুটির মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনাে সাধারণ উৎপাদক না থাকে।
উদাহরণস্বরূপ, 3 ও 5 পরস্পর মৌলিক কিন্তু 2 ও 6 পরস্পর মৌলিক নয়।

✤ অখণ্ড সংখ্যা
স্বাভাবিক সংখ্যাঙ্গুলির সাথে 0 (শূন্য) সংখ্যাটিকে সংযুক্ত করলে যে সংখ্যাগুলি পাওয়া যায়, তাদের অখণ্ড সংখ্যা (whole number) বলে।
উদাহরণস্বরূপ, অখণ্ড সংখ্যাগুলি হল 0, 1, 2, 3, 4, 5, … |
এক্ষেত্রে পরিষ্কার যে, সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলিই অখণ্ড সংখ্যা কিন্তু বিপরীতটি সত্য নয়।
✤ পূর্ণসংখ্যা
স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সঙ্গে –1, –2, –3, … এবং 0 (শূন্য) সংখ্যাসমূহ সংযােজন করে যেসব সংখ্যা পাওয়া যায়, তাদের পূর্ণসংখ্যা (integer) বলে। অর্থাৎ, 0, \pm1, \pm2, \pm3, … ইত্যাদি।
যেমন, 1, 2, 3, 4, 5, … ইত্যাদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং –1, –2, –3,– 4, –5, … ইত্যাদি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা
0 (শূন্য) একটি পূর্ণসংখ্যা, এটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়। 0 অপেক্ষা বড়াে পূর্ণসংখ্যাগুলি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং 0 অপেক্ষা ছােটো পূর্ণসংখ্যাগুলি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা |
শূন্যের ধর্ম :
1) শূন্যের সঙ্গে কোনাে সংখ্যা যােগ করলে সেই সংখ্যাটিই পাওয়া যায়।
2) কোনাে সংখ্যা থেকে শূন্য বিয়ােগ করলে সেই সংখ্যাটিই পাওয়া যায়।
3) শূন্যকে কোনাে সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল সর্বদাই শূন্য হয়।
4) শূন্যকে যে-কোনাে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সর্বদা শূন্য হয়।
5) কোনাে সংখ্যাকে শূন্য দ্বারা ভাগ করলে তার কোনাে অর্থ থাকে না। অর্থাৎ শূন্য দ্বারা ভাগ অসংজ্ঞাত (undefined)।
6) যে-কোনাে অশূন্য সংখ্যার ঘাত (power) শূন্য হলে, উত্তর 1 হবে। অর্থাৎ \inline a^{0}=1 (যেখানে a \inline \neq 0)।
7) শূন্য-এর ঘাত অশূন্য সংখ্যা হলে, উত্তর শূন্য হবে| অর্থাৎ \inline 0^{a}= 0 \; [a\neq 0]
8) শূন্য-এর ঘাত শূন্য অসংজ্ঞাত, অর্থাৎ \inline 0^{0} = অসংজ্ঞাত।

✤ জোড় বা যুগ্ম পূর্ণসংখ্যা
যে সমস্ত পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য, তাদের জোড় বা যুগ্ম পূর্ণসংখ্যা (even integer) বলে। যেমন, \pm2, \pm4, \pm6, \pm8, … ইত্যাদি।

✤ বিজোড় বা অযুগ পূর্ণসংখ্যা
যে সমস্ত পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাদের অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা (odd integer) বলে। যেমন, \pm1, \pm3, \pm5, \pm7, … ইত্যাদি।

✤ জোড় ও বিজোড় সংখ্যার ধর্ম
1) দুটি জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও অন্তর সর্বদাই জোড় সংখ্যা।
2) দুটি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি ও অন্তর সর্বদাই জোড় সংখ্যা।
3) একটি জোড় ও একটি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি ও অন্তর সর্বদাই বিজোড় সংখ্যা |
4) দুটি জোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা।
5) দুটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদাই বিজোড় সংখ্যা |
6) একটি জোড় ও একটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা |

✤ মূলদ সংখ্যা
যে সমস্ত সংখ্যাকে \inline \frac{p}{q} আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q দুটি পূর্ণসংখ্যা এবং \inline q\neq 0, তাদের মূলদ সংখ্যা (rational number) বলে। অর্থাৎ যে সংখ্যার দশমিক আকার আবৃত্ত ও সসীম তারাই মূলদ। যেমন, 7, \inline \frac{5}{3}, 0.26, \inline -\frac{3}{2}, \inline \sqrt{16}, \inline \sqrt{81}, \inline 3.\bar{2}, \inline 5.\bar{65}, \inline 37.\bar{237}, 32.\bar{591} ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা |
NOTE :(i) সমস্ত পূর্ণসংখ্যাই মূলদ, কিন্তু সমস্ত মূলদ সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা নয়। (ii) যে-কোনাে ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল একটি মূলদ সংখ্যা।
মূলদ সংখ্যার ধর্ম :
1) যে-কোনাে দুটি মূলদ সংখ্যার যােগফল, বিয়ােগফল, গুগফল ও ভাগফল (শূন্য দিয়ে ভাগ ছাড়া) একটি মূলদ সংখ্যা হয়।
2) মূলদ সংখ্যা বিনিময় (commutative), সংযােগ (associative) এবং বিচ্ছেদ (distributive) নিয়ম সিদ্ধ করে।
3) a ও b দুটি মূলদ সংখ্যা হলে, হয় a> b অথবা a = b অথবা a < b হবে।
4) a, b, c তিনটি মূলদ সংখ্যা এবং a< b, b < c হলে, a < c হবে।
5) মূলদ সংখ্যা সর্বত্র নিবিড় (dense) অর্থাৎ দুটি প্রদত্ত মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য (uncountable) মূলদ সংখ্যা আছে|
✤ অমূলদ সংখ্যা
যে সমস্ত সংখ্যাকে \inline \frac{p}{q} আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q দুটি পূর্ণসংখ্যা এবং \inline q\neq 0, তাদের অমূলদ সংখ্যা (irrational number) বলে। অর্থাৎ যে সংখ্যার দশমিক আকার অনাবৃত্ত ও অসীম তারাই অমূলদ। যেমন, \inline \sqrt{2}, \inline \sqrt{3}, \inline \sqrt[3]{7}, \inline \sqrt[4]{25}, \inline \sqrt[4]{5}, π, e, 1.212112111211112…, 5.0242442444244442… ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
NOTE : দুটি প্রদত্ত অমূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা আছে।
✤ বাস্তব সংখ্যা
সমস্ত মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাকে সংযােজন করে যে সমস্ত সংখ্যা পাওয়া যায়, তাদের বাস্তব সংখ্যা (real number) বলে।
✤ বীজগাণিতিক সংখ্যা
যেসব সংখ্যা কোনাে বীজগাণিতিক সমীকরণের মূল (root) বা সমাধান (solution) হিসেবে পাওয়া যায়, তাদের বীজগাণিতিক সংখ্যা (algebraic number) বলে।
অর্থাৎ সমস্ত মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাই বীজগাণিতিক সংখ্যা। যেমন, 3, –2, \inline -\frac{3}{2}, \inline \frac{5}{2}, \inline 3\sqrt{2} ইত্যাদি বীজগাণিতিক সংখ্যা।
✤ অবীজগাণিতিক সংখ্যা
যেসব সংখ্যা কোনাে বীজগাণিতিক সমীকরণের মূল (root) বা সমাধান (solution) হিসেবে পাওয়া যায় না, তাদের অবীজগাণিতিক সংখ্যা (non-algebraic or transcendental number) বলে। যেমন, π , e ইত্যাদি অবীজগাণিতিক সংখ্যা।
NOTE : বীজগাণিতিক সংখ্যা মূলদ বা অমূলদ হতে পারে। কিন্তু অবীজগাণিতিক সংখ্যা সবসময় অমূলদ হবে।
✤ ধ্রুবক রাশি
গাণিতিক নিয়ম বা সমীকরণের অন্তর্গত কোনাে বাস্তব রাশি অথবা প্রতীকের মান যদি পরিবর্তনশীল না হয়, তবে সেই রাশিকে ধ্রুবক রাশি (constant) বলে। যেমন, 1, 2, 3, \inline \sqrt{2}, \inline \sqrt{3}, –2 ইত্যাদি ধ্রুবক রাশি।
✤ চলরাশি
গাণিতিক নিয়ম বা সমীকরণের অন্তর্গত কোনাে বাস্তব রাশির মান যদি পরিবর্তনশীল হয়, তবে সেই রাশিকে চলরাশি বা বাস্তব চলরাশি (variable) বলে। যেমন, x = y, \inline y=x^{2}+2x+1 সমীকরণ দুটিতে x ও y উভয়ই চলরাশি।
✤ বিস্তার
a ও b দুটি বাস্তব সংখ্যা এবং a< b হলে, a ও b-এর মধ্যবর্তী সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সংকলনকে a ও b-এর বিস্তার (interval) বলা হয়।
x সংখ্যাটি a ও b-এর বিস্তারের অন্তর্গত হলে, বিস্তারকে সাধারণত চারটি নিয়মে প্রকাশ করা হয়— (1) a <x< b, (2) a\leqslant x<b, (3) a <x\leqslant b, (4) a \leqslant x \leqslant b
✤ বাস্তব সংখ্যার পরম মান
একটি বাস্তব সংখ্যা ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক যাই হােক না কেন, পরম মান (absolute value) বলতে সংখ্যাটির ধনাত্মক মান বা সাংখ্যমানকেই বােঝায়।
যে-কোনাে বাস্তব সংখ্যা x-এর পরম মান |x| প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এর সংজ্ঞা নিম্নরূপ :
|x| = x, যখন x > 0
    = 0, যখন x = 0
    =-x, যখন x < 0
উদাহরণ : |3| 3, |5| = 5, |0| = 0, |-3| = 3, |5| = 5 ইত্যাদি |
✤ পরম মানের কয়েকটি বৈশিষ্ট্য
x, y যে-কোনাে বাস্তব সংখ্যা হলে—
(1) |x| = |-x|, (2) |x + y| \inline \leqslant |x| + |y|, (3) |x-y| \inline \leqslant |x| + |y|, (4) |xy| = |x ||y|, (5) | \inline \frac{x}{y} | = | \inline \frac{x}{y} | হলে, \inline y\neq 0, (6) |x| \inline \leqslant y হলে, –y \inline \leqslant x <  y হবে। (7) |x| \inline \geqslant y হলে, |x| \inline \geqslant y অথবা |x| \inline \leqslant -y হবে।

(8)|x- a| y \inline \leqslant হলে a-y \inline \leqslant x \inline \leqslant a + y হবে, যেখানে a \inline \neq 0। (9) |x- a| \inline \geqslant y হলে, x \inline \geqslant a + y অথবা, x \inline \leqslant a– y হবে, যেখানে a \inline \neq 0 | (10) |x-y| = |y-x|, (11) |x| – |y| \inline \leqslant |x-y|

✤ সংখ্যার সমতা
দুটি সংখ্যা a এবং b-এর মধ্যে সমতা আছে বলা হবে যখন সংখ্যা দুটি একই বাস্তব মান গ্রহণ করে এবং সেক্ষেত্রে a = b আকারে সমতাকে চিহিত করা হয়। একটি রাশি x-এর মান 2 হলে, লেখা হবে x = 2 ||

✤ অসমতা
বাস্তবে দুটি রাশি সর্বদা একই মান গ্রহণ করতে নাও পারে। সেক্ষেত্রে একটি মান অপরটির বেশি বা কম হতে পারে। এই ঘটনা থেকে অসমতার সূত্রপাত। বাস্তবে অসমতাকে প্রকাশ করার জন্য চারটি গাণিতিক চিহ্ন>, <,\inline \geq, \leq ব্যবহার করা হয়।

অসমতার কয়েকটি বিশেষ ধর্ম :
[1] (i) x > y এর অর্থ x, y-এর থেকে বড়াে। (ii) x < y এর অর্থ x, y-এর থেকে ছােটো।
(iii) x \inline \geqslant y এর অর্থ x, y-এর থেকে বড়াে অথবা সমান। (iv) x \inline \leqslant y এর অর্থ x, y-এর থেকে ছােটো অথবা সমান।
[2] (i) x> 0 হলে, -x< 0, (ii) x> y হলে, -x <-y, (iii) x> y হলে, \inline \frac{1}{x} < \inline \frac{1}{y} . (x> 0, y> 0), (iv) x > y এবং y > z হলে, x > z, (v) x \inline \geqslant a হলে, x-এর সর্বনিম্ন মান হল a, (vi) x \inline \leqslant a হলে, x-এর সর্বোচ্চ মান হল a
[3] b> a এবং (x- a)(x- b) 20 হলে, x \inline \geqslant b অথবা x \inline \leqslant a হবে।
[4] b> a এবং (x- a)(x- b) 0 হলে, a \inline \leqslant x \inline \leqslant b হবে।
✒ সংখ্যা সম্পর্কিত কয়েকটি বিশেষ সুত্র
সূত্র [1] দুটি সংখ্যার যােগফল ও বিয়ােগফল জানা থাকলে,
(1)বৃহত্তম সংখ্যা = (যােগফল + বিয়ােগফল)/2
(2) ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (যোগফল – বিয়োগফল)/2
(3) সংখ্যাদুটির গুণফল = [যােগফল + বিয়ােগফল][যােগফল – বিয়ােগফল)/4
(4) সংখ্যাটির বর্গের পার্থক্য = যােগফল x বিয়ােগফল

সূত্র [2]
দুটি সংখ্যার গুণফল ও ভাগফল জানা থাকলে,
(1) বড়াে সংখ্যা = √গুণফল x ভাগফল (2) ছােটো সংখ্যা = √গুণফল + ভাগফল

{\color{DarkOrange} a^{b}} (a>0, b>0) আকারের সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয়
a^{b} আকারের সংখ্যার ক্ষেত্রে a-কে বলা হয় নিধান (base) এবং b-কে বলা হয় ঘাত বা সূচক (power or index) I a এবং b উভয়ই ধনাত্মক হলে, a^{b} এর একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় করা সম্ভব। সেক্ষেত্রে নীচের ছকটি লক্ষ করাে :
নিধানের একক
স্থানীয় অঙ্ক
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক
100
211
32প্রথমে সূচককে 4 দিয়ে ভাগ করতে হবে। তারপর-
(1) ভাগশেষ না থাকলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \inline (2)^{4}-এর একক স্থানীয় অঙ্ক।
(2) ভাগশেষ থাকলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = (2)^ভাগশেষ -এর একক স্থানীয় অঙ্ক।
43প্রথমে সূচককে 4 দিয়ে ভাগ করতে হবে। তারপর-
(1) ভাগশেষ না থাকলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \inline (3)^{4} এর একক স্থানীয় অঙ্ক।
(2) ভাগশেষ থাকলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = (3)^ভাগশেষ এর একক স্থানীয় অঙ্ক।
54(1) সূচক জোড় সংখ্যা হলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = 6।
(2) সূচক বিজোড় সংখ্যা হলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = 4।
655
766
87প্রথমে সূচককে 4 দিয়ে ভাগ করতে হবে। তারপর-
(1) ভাগশেষ না থাকলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \inline (7)^{4} -এর একক স্থানীয় অঙ্ক|
(2) ভাগশেষ থাকলে, সংখ্যাটির একক থানীয় অঙ্ক = (7)^ভাগশেষ এর একক স্থানীয় অঙ্ক।
98প্রথমে সূচককে 4 দিয়ে ভাগ করতে হবে। তারপর-
(1) ভাগশেষ না থাকলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \inline 8^{4} -এর একক স্থানীয় অঙ্ক|
ভাগশেষ
(2) ভাগশেষ থাকলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = (8)^ভাগশেষ -এর একক স্থানীয় অঙ্ক |
109(1) সূচক জোড় সংখ্যা হলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = 1।
(2) সূচক বিজোড় সংখ্যা হলে, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = 9।

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

17 + 1 =